高等数学笔记(部分)

第一章：函数、极限与连续

1.1 函数

1.1.1 函数的性质与概念

1. 定义：y=f(x)
2. 一些重要性质
   1. 有界性 $$\mid f(x) \mid \leq M$$
   2. 单调性 $$x_1, x_2$$ $$x_1 < x_2 , f(x_1) < f(x_2)$$ $$x_1 > x_2 , f(x_1) > f(x_2)$$
   3. 奇偶性 $$偶函数 f(-x) = f(x)$$ $$奇函数 f(-x) = -f(x)$$
   4. 周期性 $$f(x + T) = f(x)$$

1.1.2 初等函数

1. 基本初等函数
2. 复合函数
3. 初等函数

1.2 极限的概念

1.2.1 数列的极限

$$\lim_{n \to +\infty}x_n = A$$

1.2.2 函数的极限

1. $$\lim_{n \to +\infty}f(x) = A$$
2. $$\lim_{x \to x_0}f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^+}f(x) = \lim_{x \to x_0^-}f(x) = A$$
3. 函数在某一点的极限

1.2.3 无穷小量与无穷大量

• 无穷小量

  • 性质
    1. 有限个无穷小量的代数和是无穷小量
    2. 有限个无穷小量的乘积是无穷小量
    3. 无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量
    4. 常数与无穷小量的乘积是无穷小量

• 无穷大量

1.3 极限的运算

1.3.1 极限的四则运算

• 如果 $\lim f(x) = A, \lim g(x) = B$

1. $$\lim[f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B$$
2. $$\lim[f(x) * g(x)] = \lim f(x) * \lim g(x) = A * B$$
3. $$\lim[C * f(x)] = C * \lim f(x) = C * A$$
4. $$\lim g(x) = B \neq 0; \lim \frac {f(x)} {g(x)} = \frac {\lim f(x)} {\lim g(x)} = \frac A B$$

1.3.2 两个重要极限

• 定理（夹逼准则）
• $$g(x) \leq f(x) \leq h(x)，且 \lim_{x \to x_0}g(x) = A，\lim_{x \to x_0}h(x) = A，则\lim_{x \to x_0}f(x) = A$$

1. 第一个重要极限 $$\lim_{\fbox{} \to 0} \frac {\sin \fbox{}} {\fbox{}} = 1，注：需为 “\frac {0} {0}”型未定式$$
2. 第二个重要极限 $$\lim_{x \to +\infty}(1 + \frac {1} {x})^x = e，x = \fbox{}$$ $$\lim_{x \to 0}(1 + x)^\frac{1}{x} = e，x = \fbox{}$$

1.3.3 等价无穷小的替换

$$x \sim \sin x，x \sim \tan x，x \sim \arctan x，1 - \cos x \sim \frac {x^2} {2}，ln(1+x) \sim x，e^x - 1 \sim x，\sqrt{1+x} - 1 \sim \frac {1}{2} x$$

1.4 函数的连续性

1.4.1 函数连续的概念与性质

1. 第一定义 $$\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y = 0$$
2. 第二定义 $$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$$

• $$\lim_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0) \implies f(x)在x_0处左连续$$
• $$\lim_{x \to x_0^+}f(x) = f(x_0) \implies f(x)在x_0处右连续$$

1.4.2 函数的间断点

1. $$在点x = x_0 处没有定义$$
2. $$在点x = x_0 处有定义，但\lim_{x \to x_0}f(x)不存在$$
3. $$在点x = x_0 处有定义，且\lim_{x \to x_0}f(x)存在，但\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$$
   1. 第一类间断点：$\lim_{x \to x_0^+}f(x)，\lim_{x \to x_0^-}f(x)都存在的间断点$
      1. $$\lim_{x \to x_0^+}f(x)，\lim_{x \to x_0^-}f(x)都存在但不相等时，称x_0为f(x)的跳跃间断点$$
      2. $$\lim_{x \to x_0}f(x)存在但极限值不等于f(x_0)时，称x_0为f(x)的可去间断点$$
   2. 第二类间断点：$\lim_{x \to x_0^+}f(x)，\lim_{x \to x_0^-}f(x)中至少有一个不存在的间断点$

1.4.3 闭区间上连续函数的性质

• $$若f(X)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值$$

第二章：导数与微分

2.1导数的概念

2.1.1 导数的概念

• $$\lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta y} {\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) } {\Delta x}$$

2.1.2 函数可导与连续的关系

• $$如果函数 y = f(x) 在点x_0处可导，则该函数在点x_0处连续$$

2.2 函数的求导法则

2.2.1 导数的四则运算法则

1. $$(u \pm v)' = u' \pm v'$$
2. $$(uv)' = u'v + uv'；(Cu)' = Cu'$$
3. $$(\frac {u} {v})' = \frac {u'v - uv'} {v^2}，(v \neq 0)$$

2.2.2 反函数的求导法则

• $$若单调连续函数x = \varphi(y)在点y处可导，且\varphi '(y) \neq 0，则它的反函数y = f(x) 在对应点x处可导，且有f'(x) = \frac {1} {\varphi '(y)}$$
• $$(\arcsin x)' = \frac {1} {\varphi ' (y)} = \frac {1} {\cos y}$$

2.3 复合函数的求导法则

• $$\frac {dy} {dx} = \frac {dy} {du} \cdot \frac {du} {dx} ；y' = f'(u) \cdot u'(x)$$

2.4 隐函数的导数

2.4.1 隐函数的求导

• $$y = f(x) \to 显函数$$
• $$F(x, y) = 0 \to 隐函数$$ 例子
• $$xy = e^{x+y}，两边对x求导 \to y + x \frac {dy} {dx} = e^{x+y}(1 + \frac {dy} {dx})，把\frac {dy} {dx}缇出来 \to \frac {dy} {dx} = \frac {e^{x+y} - y} {x - e^{x+y}}$$

2.5 高阶导数

函数的二阶及二阶以上的导数统称为函数的高阶导数

2.6 函数的微分

$$dy = f'(x)dx$$

第三章：微分中值定理与导数的应用

3.1 微分中值定理

3.1.1 拉格朗日中值定理

若函数f(x)满足

3.1.2 罗尔定理

$$设函数f(x)满足：$$

1. $$在闭区间[a, b]上连续$$
2. $$在开区间(a, b)内可导$$
3. $$f(a) = f(b)$$ $$则至少存在一点\xi \in (a,b)，使得f'(\xi) = 0$$

3.2 洛必达法则

$$要注意只能用于\frac {0} {0}或\frac {\infty} {\infty}，如果遇到0 \cdot \infty 或 \infty - \infty 需要化为规定形式$$

3.3 函数的单调性与极值

3.3.1 函数的单调性

$$设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a,b)内可导，则有$$

1. $$如果在(a, b)内f'(x) > 0，那么，函数f(x)在(a, b)内单调增加$$
2. $$如果在(a, b)内f'(x) < 0，那么，函数f(x)在(a, b)内单调减少$$

3.3.2 函数的极值

极值是函数的一个局部性概念，是函数在某一邻域内的最大值或最小值，而不是在整个定义域内的最大值或最小值。

• 极值的第一充分条件 $$设函数 y = f(x)在x_0 的某邻域内连续，在x_0 的去心邻域内可导(允许f'(x_0)不存在)$$

1. $$当x < x_0 时 f'(x) > 0，当x > x_0 时 f'(x) < 0，则x_0为f(x)的极大值点.$$
2. $$当x < x_0 时 f'(x) < 0，当x > x_0 时 f'(x) > 0，则x_0为f(x)的极小值点.$$
3. $$在x_0 两侧f'(x)的符号相同，则x_0 不是x_0 的极值点.$$

• 极值的第二充分条件 $$设函数f(x)在x_0 处具有二阶导数，且f'(x_0) = 0$$

1. $$当f''(x_0) < 0 时，x_0 是f(x)的极大值点.$$
2. $$当f''(x_0) > 0 时，x_0 是f(x)的极小值点.$$
3. $$当f''(x_0) = 0 时，不能判断x_0 是否是f(x)的极值点.$$

3.3.3 函数的最值

根据最大值和最小值的概念，可以得出他们的求法如下:

1. $$求出f(x)在(a, b)内的驻点和一阶导数不存在的点，并计算各点的函数值(不必判断这些点是否取得极值，是极大值还是极小值)$$
2. $$求出端点的函数值f(a) 和 f(b)$$
3. $$比较前面求出的所有函数值，其中最大的就是f(x) 在[a, b]上的最大值，其中最小的就是f(x) 在[a, b]上的最小值$$

3.4 函数图像的凹凸性与拐点

3.4.1 曲线的凹凸性

• 曲线凹凸性的判定法 $$设函数f(x) 在(a, b)内二阶可导.$$

1. $$若在(a, b )内f''(x) > 0，则曲线y = f(x) 在(a, b)内为凹的$$
2. $$若在(a, b )内f''(x) < 0，则曲线y = f(x) 在(a, b)内为凸的$$

3.4.2 曲线的拐点

$$在曲线拐点处有y''(x) = 0或 y''(x) 不存在$$

3.4.3 曲线的渐近线

• $$如果曲线y = f(x) 的定义域是无限区间且 \lim_{x \to -\infty}f(x) = b 或则 \lim_{x \to +\infty}f(x) = b，则称直线y = b为曲线y = f(x) 的一条水平渐近线$$
• $$如果曲线 y = f(x) 在x = c处间断，且\lim_{x \to c^-} = \infty 或者 \lim_{x \to c^+} = \infty，则直线x = c为曲线y = f(x)的一条垂直渐近线$$

第四章 不定积分

4.1 不定积分的概念

4.1.1 原函数的概念

$$设f(x)是定义在区间I上的已知函数，如果存在函数F(x)，对于该区间内的任意x，都有$$ $$F'(x) = f(x) 或 dF(x) = f(x)dx$$ $$则称F(x) 是f(x) 在区间I上的一个原函数$$ $$通常把F(x) + C 叫做函数f(x)的原函数族，C是任意常数$$

4.1.2 不定积分的概念

$$\int {f(x)dx} = F(x) + C$$

4.2 不定积分的性质与直接积分

4.2.1 不定积分的性质

• 1. $$[\int {f(x)dx}]' = f(x) 或 d[\int {f(x)dx}] = f(x)dx$$
  2. $$\int {F'(x)dx} = F(x) + C 或 \int {dF(x)} = F(x) + C$$
• $$\int {kf(x)dx} = k \int {f(x)dx} ;(k \neq 0,且为常数)$$
• $$\int {[f(x) \pm g(x)]dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx}$$

4.2.2 基本积分公式

1. $$\int {kdx} = kx + C; (K为常数)$$
2. $$\int {x^a dx} = \frac {1} {a + 1} x ^ {a + 1} + C; (a \neq -1)$$
3. $$\int {\frac {1} {x}dx} = \ln {|x|} + C$$
4. $$\int {a^x dx} = \frac {a^x} {\ln a} + C; (a > 0, a \neq 1)$$
5. $$\int {e^x dx} = e^x + C$$
6. $$\int {\sin x dx} = -\cos x + C$$
7. $$\int {\cos x dx} = \sin x + C$$

4.3 换元积分法

4.3.1 第一类换元积分法

$$\int {f(u(x))u'(x) dx} = \int {f(u(x)) du(x)} = F(u(x)) + C$$

4.3.2 第二类换元积分法

$$设函数f(x) 连续，函数 x = u(t) 有连续的导数，并且存在反函数 t = u^{-1} (x)，如果 \int {f(u(t)) u'(t)dt} = F(t) + C ，则$$ $$\int {f(x)dx} = F(u^{-1}(x)) + C$$

第二类换元积分法主要用来求某些含根式的不定积分，通过变量代换去掉根式

4.4 分部积分法

$$设函数u = u(x), v = v(x) 具有连续的导数，则有$$ $$\int {u(x)d v(x)} = u(x)v(x) - \int {v(x)du(x)}$$